CALCULO DE RAICES DE UN POLINOMIO

En esta página encontrarás qué son las raíces de un polinomio y de qué forma sy también calculan. Además, podrás ver ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso sobre las raíces dy también un polinomio.

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¿Qué son las raíces dy también un polinomio?¿de qué manera calcular todas las raíces de un polinomio?Ejemplo de cómo se calculan las raíces dy también un polinomioPropiedades dy también las raíces de un polinomioEjercicios resueltos dy también raíces de kazantourforum.com
En matemáticas, las raíces (o ceros) de un polinomio son los valores que anulan el polinomio. Es decir, las raíces dy también un polinomio son todos aquellos valores que cuando se evalúan en el polinomio su valor numérico es igual a 0.En definitiva,
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Por ejemplo, si tenemos el próximo polinomio:P(x)=x^2-3x+2Podemos comphurtar quy también una de las raíces del polinomio es 1, puesto que el valor numérico del polinomio en x=1 es igual a cero:P(1)=1^2-3cdot 1+dos = 1-3+2 colorblue m= 0En cambio, tres no es una raíz del polinomio por el hecho de que no es un valor que anule al polinomio, o dicho dy también otra forma, el valor numérico del polinomio en x=3 es diferente de cero:P(3)=3^2-3cdot 3+2 = 9-9+2=dos colorblue m
eq 0Seguro que ahora ya entiendes mejor qué es la raíz de un polinomio, pero ¿no ty también agradaría saber cuántas raíces tiene un polinomio? ¿O de qué manera hallar todas las raíces dy también un polinomio? pues o sea precisapsique lo que vamos a ver en el siguiente apartado.
Para hallar todas las raíces de un polinomio se deben proseguirse los próximos pasos:Primero se calculan todos y cada uno de los divisores del término independienty también del polinomio.En segundo lugar, sy también evalúan en el polinomio todos y cada uno de los valores encontrados en el paso anterior.Finalmente, si al valorar un número en el polinomio su valor numérico es igual a cero, dicho número es una raíz del polinomio. De lo contrario, dicho número no corresponde a una raíz del polinomio.Este procedimiento se deduce del teorema del resto, haz click en esty también enlacy también para descubrir el porqué de este peculiar procedimiento.

Ejemplo de cómo se calculan las raíces dy también un polinomio

a continuación vamos a solucionar un ejemplo punto por punto para que puedes entender mejor de qué forma sacar las raíces dy también un polinomio.¿Cuáles son todas y cada una de las raíces del siguiente polinomio?P(x) = x^2-5x+6Primero de todo, debemos localizar los divisores del término independiente, pues cualquier raíz dy también un polinomio asimismo es un divisor del término independiente. De esta forma pues, los divisores de seis son:Divisores dy también 6: +1, -1, +2, -2, +3, -3Recuerda que si un número es un divisor, su negativo también lo es. Ya que un número es divisible por números positivos y negativos.Dy también manera que las posibles raíces o ceros del polinomio son: ±1, ±2, ±3. Por lo tanto, debemos definalizar el valor numérico del polinomio en todos esos valores. Y, para ello, sustituimos dichos valores en la expresión del polinomio donde haya una x:P(1) = 1^dos -5cdot uno +6= uno -5 +6 =2P(-1) = (-1)^2 -5cdot (-1) +seis =1+5+6 = 12P(2) = 2^2 -5cdot 2 +seis =4-10+6= colorblue m0P(-2) = (-2)^2 -5cdot (-2) +seis =4+10+seis =20P(3) = 3^dos -5cdot tres +seis =9-15+6=colorblue m0P(-3) = (-3)^2 -5cdot (-3) +6 =9+15+seis =30de tal modo que el polinomio se anula solamente cuando la variably también x vale +dos o +3, así que estas son las raíces del polinomio:Raíces o ceros del polinomio: +2 y +3Por otro lado, fíjaty también quy también el polinomio tienes tantas raíces como su grado, es decir, como el polinomio es de segundo grado tiene dos raíces. En las propiedades dy también las raíces de un polinomio (más abajo), veremos por qué razón siempry también se cumply también esta característica para cualquier polinomio.Acabamos de ver una manera para hallar las raíces dy también un polinomio. Sin embargo, todavía existen más métodos para conseguirlo, por servirnos de un ejemplo también sy también pueden localizar las raíces dy también un polinomio con la regla de Ruffini. Haz clic en el próximo enlace para poder ver ejemplos de la regla dy también Ruffini, aquí hallarás en qué consisty también este procedimiento tan conocloco y, además, cuáles son las diferencias entre los dos procedimientos.

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Propiedades de las raíces dy también un polinomio


Las raíces o ceros de un polinomio tienen las siguientes características:Como hemos visto antes, las raíces (o ceros) enteras dy también un polinomio son divisores del término independienty también del polinomio.Si conocemos todas las raíces dy también un polinomio, podemos expresar dicho polinomio en forma de productos dy también binomios del tipo (x-a).Por ejemplo, el polinomio P(x) =x^3+3x^2-x-3 tieny también tres raíces, quy también son x=+1, x=-1 y x=-3. Por lo tanto, podemos reescribir el polinomio en forma dy también tres multiplicaciones dy también factores, cada uno de ellos formado por la variable x y una raíz cambiada de signo:displaystyledefinecolorvermellHTMLF44336definecolorblauHTML2196F3definecolorverdHTML27AE60 P(x) =x^3+3x^2-x-tres  longrightarrow  	extra x=colorvermellm-1 \<2ex> x=colorblaum-3endcases" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height=127 width=4treinta style=vertical-align:0>definecolorvermellHTMLF44336definecolorblauHTML2196F3definecolorverdHTML27AE60P(x) =x^3+3x^2-x-tres = (xcolorverdm-1colorblack)cdot (xcolorvermellm+1colorblack) cdot (xcolorblaum+3colorblack)A esto se ly también llama factorización de kazantourforum.com. Dy también hecho, una de las aplicaciones principales de deconcluir las raíces de un polinomio es que sirven para poderlo factorizar. En el siguiente enlace podrás saber en qué consisty también esta operación tan especial y, además, podrás practicar con ejercicios resueltos dy también factorización dy también kazantourforum.com.Un polinomio tiene tantas raíces como indica su grado. Por lo que un polinomio dy también segundo grado tendrá dos raíces, un polinomio dy también tercer grado va a tener tres raíces, un polinomio de cuarto grado tendrá 4 raíces, y así sucesivamente.Si un polinomio no tieny también término independienty también significa que una de sus raíces es 0. Entonces, el resto dy también raíces han de ser divisores del coeficiente del monomio de menor grado.Por ejemplo, el próximo polinomio no tieny también término indendiente:P(x) =x^3+x^2-2xde forma que una raíz del polinomio deby también ser necesariamente 0. Y el resto dy también raíces son divisores del coeficiente del término de menor grado, es decir -2. En concreto, las otras raíces son x=+1 y x=-2, con lo que todas y cada una de las raíces del polinomio son:Raíces o ceros del polinomio: 0, +1 y -2en el momento en que no sy también pueden deacabar las raíces dy también un polinomio, afirmamos que es un polinomio irreducible.Por ejemplo, vamos a procurar calcular las raíces del siguiente polinomio:P(x) =x^2+3x-1Las únicas posibles raíces del polinomio son los divisores dy también -1, o sea -uno y +1. Conque evaluamos el polinomio en dichos valores:P(1) = 1^2 +3cdot 1 -1= uno +tres -1 =3 
eq 0P(-1) = (-1)^2 +3cdot (-1)-uno =1-3-1 =-3 
eq 0En ningún caso sy también anula el polinomio, por lo tanto no tieny también raíces y, en consecuencia, es un polinomio irreducible.cuando el polinomio está compuesto por el producto de varios kazantourforum.com no es preciso hacer dicho producto para calcular las raíces, sino más bien que las raíces del polinomio son las raíces dy también cada factor quy también está multiplicando.como ejemplo, si tenemos el próximo polinomio:P(x) = (x-2) cdot (x+1)A partir dy también la segunda propiedad dy también las raíces dy también los kazantourforum.com, podemos deducir que la raíz del polinomio dy también la izquierda es +2 y la raíz del polinomio dy también la derecha es -1.displaystyle (x-2)  longrightarrow  	extradisplaystyle (x+1)  longrightarrow  	extraPor lo tanto, las raíces del polinomio resultante de la multiplicación dy también los dos factores son sus respectivas raíces, es decir, +dos y -1.displaystyle P(x) = (x-2) cdot (x+1)  longrightarrow  	extra x=-1 endcases" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height=7siete width=424 style=vertical-align:0>

Ejercicios resueltos dy también raíces dy también kazantourforum.com

Ejercicio 1

Determina si x = -4 es una raíz del próximo polinomio:P(x)=x^3+2x^2-11x-12
Para saber si x=-4 es una raíz del polinomio debemos evaluarlo en ese valor. Por tanto:eginalignedP(-4)& =(-4)^3+2cdot (-4)^2-11cdot (-4) -doce \<2ex> & = -64+2cdot 1seis +4cuatro -doce \<2ex> & = -64+32+44 -doce \<2ex> & = 0 endalignedEl valor numérico del polinomio en x=-4 es nulo, así que ciertamente sy también trata dy también una raíz del polinomio.

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Ejercicio 2

Calcula todas y cada una de las raíces del próximo polinomio:P(x)=x^2-3x+2
En primer lugar, para hallar las posibles raíces del polinomio hemos de hallar los divisores del término independiente. Así pues, los divisores de dos son:Divisores de 2: +1, -1, +2, -2Dy también forma quy también las posibles raíces o ceros del polinomio son ±1 y ±2. Por lo tanto, debemos calcular cuánto valy también el polinomio en todos esos valores:P(1)=1^2-3cdot 1+dos =1-3+2=0P(-1)=(-1)^2-3cdot (-1)+2 =1+3+2=6P(2)=2^2-3cdot 2+2 =4-6+2=0P(-2)=(-2)^2-3cdot (-2)+2 =4+6+2=12Dy también manera quy también el polinomio sy también anula una vez que x vale +uno o +2, así que estas son las raíces del polinomio:Raíces o ceros del polinomio: +uno y +2
 

Ejercicio 3

Halla las raíces del próximo polinomio:P(x)=x^3-x^2-4x+4
 

Ejercicio 4

Encuentra las raíces del siguiente polinomio:P(x)=x^3-6x^2+8x
 

Ejercicio 5

Utiliza las propiedades de las raíces dy también los kazantourforum.com para calcular las raíces del siguiente polinomio:P(x)=(x-1)(x+3)(x^2-x-2)
Como hemos visto en la sexta propiedad dy también las raíces, una vez que el polinomio está formado por el producto dy también factores no hacy también falta calcular todas las raíces, en tanto que las raíces dy también todo el polinomio son las raíces de cada factor.Además, a partir dy también la segunda propiedad dy también las raíces dy también los kazantourforum.com, podemos deducir quy también la raíz del primer factor es +uno y la raíz del segundo factor es -3.displaystyly también (x-1)  longrightarrow  	extradisplaystyly también (x+3)  longrightarrow  	extraPor lo tanto, solo nos queda localizar las raíces del último factor. Para ello, hallamos los divisores del término independiente (-2):Divisores de -2: +1, -1, +2, -2De forma quy también las posibles raíces o ceros del último polinomio son ±1 y ±2. Con lo que debemos calcular el valor numérico de dicho polinomio en todos esos valores:q(x)= x^2-x-2q(1)=1^2-1-2=1-1-2=-2q(-1)=(-1)^2-(-1)-2=1+1-2=0q(2)=2^2-2-2=4-2-2=0q(-2)=(-2)^2-(-2)-2=4+2-2=4De manera que las raíces del polinomio dy también la derecha son -uno y 2.Por tanto, las raíces del polinomio entero son todas y cada una de las raíces halladas:Raíces o ceros del polinomio: +1, -1, +2, -3